我想你大概不是来找定义的，我就说我对这玩意几何上的理解。

微分总体是为了刻画函数局部的增长率，高中的导数就是斜率，那语境到多元函数的时候，我们怎么办？

z如果是一个三维里的曲面，当某一个点可微的时候，我们怎么刻画这玩意的局部增长率？

回想导数的定义：

这其实是在x0这个点附近找另一个f上的点，连起来，用y的变化量除以x的变化量这个代表这一部分的斜率，之后使两点不断靠近（取极限），作为一个点的定义，也就是斜率。这个过程就是所谓的线性逼近（用直线逼近嘛，很写实了。。）

那当我们处理多元函数怎么办？

拿二元函数z（x，y）举例好了，我们还想复制上面的过程。考察z（x0，y0）变成z（x0+h，y0+h）的变化量，定义出多元函数的类似导数的东西。

但是由于我们对多元函数缺乏‘斜率’这样直观好用的几何对象（不信你可以试一试画一个直三棱锥，想想怎么表示这个你需要的‘斜率’），所以我们先想办法考察我们会的东西：

把（x0，y0）的y轴固定下来，这样相当于把二元函数z在y=y0这里切出了一个切面，这样我们就可以把切面上的这条曲线（当然这条曲线也属于z）拿来算导数了：

因为固定了y，我们把这叫做z在x方向上的偏导数：

，类似的，我们很容易得到关于y的偏导数。

从这里出发，我们再次利用线性逼近的思想，并推广一步：

当我们考察的函数“邻域”足够小的时候，我们可以把曲面当成平面。这就是所谓线性近似的几何解释。注意是解释，不是证明，不是定义。完整的定义，我们需要借助链式法则，或（过时又被抛弃的）高阶无穷小量给出。

得到全微分的定义（二元）：

如果你喜欢代数证明的话，全微分是链式法则的直接结果。

是不是觉得还缺些什么？之前说偏微分的时候把偏微分定义在曲面切平面上，不就可以定义更加自然的多元函数”导数“了吗？事实上这就是所谓的方向导数，也就是任意某个方向的偏导数。如果想进一步了解，请找梯度与方向导数。