人人都会流体力学——二、流体的基础方程式

二、流动的基础方程式

流体力学中有一些很唬人的基础概念和专业术语，接下来我将通过非常浅显的描述方式来对他们做解释。

1、定常流和非定常流

拧开自来水管的水龙头，会有水流出，就算经过一段时间，水的流速也不会有什么变化。简单来说，这种速度不随时间的变化而变化的流动就是定常流。而下面这种，可以对非定常流做一个通俗易懂的解释：

随着时间的推移，储水槽内的水位不断下降，与此同时，水龙头的水速不断变小，这种速度随着时间的变化而变化的流动被称为“非定常流”。

2、均匀流和非均匀流

首先祭出大杀器：

这种竹制流水槽在农村很常见，将竹制流水槽接到自来水龙头上，无论在竹制流水槽里的哪个部分，流动速度都是一样的，以竹制流水槽宽度的中心为原点O，水流方向为x方向，垂直方向为y方向。只存在x方向的速度u，不存在y方向的速度v，也就是说除了特定x方向之外的速度都为0，这种同一个方向的流动成为均匀流。

与此相反的是，y方向的速度v与u同时存在的话，这样的流动就成为非均匀流。你把一根筷子作为障碍物插进上面流水槽的水中，就会使y方向出现速度v，从而转变为非均匀流。

3、拉格朗日法和欧拉法

通常在观测流体流动的方法有两种方法，分别是拉格朗日法和欧拉法。

所谓拉格朗日法，就是一直跟踪观察同一个流体粒子的方法。可以理解为跑马拉松的时候，你要报道一名选手，你就扛着摄像机一直跟在他后面跑来拍他。

欧拉法就是持续观测特定的位置，并测量通过其中的流体粒子的方法。可以理解为同样是马拉松比赛，你把摄像机架在某一个固定的地方，拍摄不同的选手跑过你摄像机时候的风采。

基本概念先说这些。继续说的是作用于流体的力：

先抛开流体，任何物体，作用于物体上的三种力分别为：重力，摩擦力和外力。

水为什么朝下流？因为重力！

杯子里水转动几下，静置一会，水的转动为什么停止了？因为摩擦力！

把手指伸进杯子里，转几下，水流动方式是不是有变化？因为外力！

连续性方程

以一根软水管为例：

自来水龙头流进软水管的水会从软水管的另一端流出来，这种情况下，流入软水管的流体流量和流出时的流量应该是完全相同的。通俗点说，进入软水管的流体粒子一定会在某一时刻从软水管中出来，不会再中途消失。这就是流体的质量守恒定律！

流体力学中将其称作连续性方程。

是不是很简单，利用这个定律，可以进行各种各样的计算。

我们在日常生活中如果要把水冲向很远的地方，通常会把软水管出口捏住，这样水就会冲的更远。这是因为手指将出水口的横断面积捏的又细又窄。

单位时间内，也就是1s内流过横断面的流体体积叫做流量，用公式表示为：

无论是通过原出口的横断面积A1，还是通过因为手指作用而变小的横断面积A2，流量Q是相同的，所以对于较小的横断面积，必然有着更大的流出速度：

下面说伯努利定律。

首先提一下物体的能量守恒定律：动能与势能之和恒定不变。

对于流体来说，除了动能和势能，还存在一个“压强能”。

假设一个储水桶，带水龙头：

当我们把水龙头拧开，水会势不可挡的流出来，此时储水桶里的流体会发生怎样的能量变化？从正面观察储水桶的情况：

很明显可以看出，A点位置最高，势能当然最大，C点位置最低，并且有速度，是不是动能最大？

那么我们需要重点关注B点，此处水的深度在增加，压强变大，随之压强能也变大。

根据物体的能量守恒定律，加上压强能，我们很容易能得到流体的能量守恒定律：

流体的能量=动能+势能+压强能=const，需要注意该式在流线上成立。

也就是说在上图中的A,B,C三点，他们处在一条流线上，所以无论哪一点，流体的总能量都是相同的：

能量的单位为Pa，上面流体的能量守恒定律就可以改写成伯努利定律（方程）：

这个定理的一个重要特性就是只能是沿着流线成立。

当然仅仅放个公式，是不符合我写这篇文章的目的的，是要让人人都能理解。

还是这根软水管：

假设整个水管现在都充满着水，并且水龙头也没关掉，水管水平放置。从水管中间踩一脚上去，会发生什么现象？

你会发现基本毫无变化，出口水流也不会有太大波动。

这是为什么呢？

因为软水管水平放置，所以势能没有什么变化，将高度z=0，则伯努利方程有：

因为踩踏，水管中间部分变细，横断面积会减小，但是流量恒定，根据之前讲的连续方程，流速会变快，动能会相应的增加。但是因为能量总和恒定值，所以压强能必然减小。

动能增加多少，压强能减小多少。

通常我们凭直觉的话，觉得软水管变细，流动会困难，会导致压强增加啊，但实际上压强却变小了。关于这个现象，你们也可以利用身边的东西做个试验：

准备两个快乐容器：

朝这两个快乐容器之间的孔隙吹气，你会发现，两个快乐容器会被吸到一起。

这用伯努利方程也很容易解释，为了通过狭窄的缝隙气流速度增大，动能相应增大，所以压强变小，大气压将他俩挤到了一起。

再回到软水管的问题上，在软水管出口的地方，由于横断面积增大，流速变慢，所以动能减小，那么老生常谈，压强能回增加，所以即使对着水管中间一顿暴踩，出口水流也没有变化。

所以各位在小区看到用那种长水管浇花花草草的，水管横在路面，不要虚，上去就是踩。

好的，继续，下面说道说道动量守恒定律，还是之前的套路，来。

物体的动量守恒定律，初中物理的内容。

这玩意叫牛顿球，相信不少人见到过，或者拥有，无数失眠的夜，写不出paper和报告的夜，他的作用就是撞来撞去让你心烦。

左侧碰撞一个球，右侧将有一个球被弹开。

左侧碰撞两个球，右侧将有两个球被弹开。

左侧的球拨离原来位置10cm，右侧也...

那我们可以这样解释这些球的运动：

左侧球碰撞前瞬时的速度u1和质量m的乘积，与右侧被谈飞的球的速度u2与m的质量相等。球的质量和速度乘积就是动量。

这就是著名的并且简单的动量守恒定律。

那么如果在球碰撞的瞬间，我用手将球的速度减慢，会怎么样？

被撞之后右侧球的高度变低了，意味着动量减少了。

质量为m的球以速度u1在运动的过程中，受到外力F在时间  的作用后撞向右方的球，右侧被弹飞的球的速度为u2：

此时动量的变化情况为：

 (冲量)，既变化后的动量-变化前的动量=外力的冲量。

同时变化为以下形式：

 ,外力=单位时间内动量的变化量。

接下来言归正传，流体的动量守恒定律。

流体和固体，球又不一样，形状不固定，所以一般情况下都会假设一个流体的“检查领域”，通过研究这个假设领域内的流体来研究其力的平衡，动量和能量守恒。

虽然确定了检查领域，但是我们依然不知道这个领域内的流动状况啊。

在这种情况下，其实我们只要分别测算流入检查领域和流出的流体动量就可以了，通过求得动量的时间变化，就能够得知检查领域内部的动量。

举个例子，我们想要调查一个秘密房间，只要调查进入和离开这个房间内的人就可以了。

假设一段排水管道，在某个地方突然变细了，我们可以设定如下的检查领域：

流体从横断面1中以速度u1流入检查领域，从横断面2以速度u2流出，管道壁的压力F作用于检查领域的流体。这个时候我们要想知道检查领域内的动量随时间的推移发生了多大的变化，只需要求得流体流出端面2的动量与流入断面1的动量之差就可以了。

将  设为单位时间：

流入横断面1的单位时间的动量=单位体积的动量X流量= 

流出横断面2的单位时间的动量=单位体积的动量X流量= 

根据动量守恒定律，有：

即为检查领域内单位时间的动量变化量=管道收缩部分的作用力。

这个动量守恒定律在任何一个检查领域都成立，选取任何检查领域都适用。

以上就是整个流体的基本方程，主要就是连续方程，能量守恒和动量守恒。应该是用了比较通俗易懂的说法给说的大差不差了。接下里还有层流，湍流等内容。有时间接着更。