（二）伯努利定律的误区

Spitwater​ 北京航空航天大学 航空宇航推进理论与工程博士在读22 人赞同了该文章

伯努利定律是科普的宠儿，不幸的是这个定律并不总是成立的，其误用情况非常普遍，很多应用伯努利定律解释的“科学实验”都有问题。本篇文章在介绍伯努利定律的时候，主要着重在两个方面：一个是它的物理意义，另一个是它的应用条件。

中考题里面的伯努利定律

我上初中时还是上世纪80年代，印象中完全没听过伯努利定律这回事，直到前几年，我发现我的书有一些读者是中学物理老师，他们给我发来的中考题让我陷入了沉思......呃，先来看几个中考练习题：

这八个练习题几乎都有问题，至少让我来回答的话，第1、2、6、7、8题我都会无所适从。也就是说这几个题其实都是对伯努利方程的误解，按照这样让学生记住答案的话，恐怕有害无益。实际上这几个题的原理都比较复杂，每一个我都会在将来发一篇文章来详细分析。

这些练习题应该就是来源于历年的中考题，比如下面的几个就是实际的中考题：

点评：这个题好难答，实际上用吸管喝饮料还真和伯努利定律有关，但只限于插进瓶内的管口附近，而从吸管到嘴的流动是和伯努利定律无关的。而且前后两句没有逻辑关系，诚然，流速大压强低，但是第二个空该填什么？我猜应该是“负压”，或者“压差力”？但可能出题者不是这么想的吧。

点评：这个例子经常被用来验证伯努利定律，但这是完全错误的，嘴吹出的气流压强和大气压几乎一样，并不比大气压低。造成两张纸向中间靠拢的机理其实是纸本身造成的，较为复杂，待以后再分析。

点评：这是一个流传更广的错误，这个题的答案D还是没问题的，但是解释完全错误。实际上，机翼上下表面的气流根本就不同时到达尾缘，用上表面路程长来解释上表面气流速度快是没有道理的。在本篇文章最开始的图中可以看到，上表面的气流实际上先于下表面到达尾缘。（小朱注：详见本专栏第四篇文章——升力的原理）

好了，我们不再多举例子，来一起看看伯努利定律是怎么回事吧。

伯努利定律

伯努利定律描述了流体在流动过程中速度与压力还有重力的关系。本质上伯努利定律就是流体中的机械能守恒定律，只不过伯努利是在1726年提出这个定律的，比能量守恒定律的发现早了一个多世纪。再加上伯努利定律确实可以解决很多问题，才让它的地位显得很重要。然而，现实情况是，伯努利定律并不是一个普遍适用的定律，它的适用条件其实非常苛刻。

伯努利定律的数学表达式为：

在上面的公式中，p是流体的压强，ρ 是流体的密度，g是重力加速度，h是高度，V是流体的速度。上式中的第二项是流体的重力势能，第三项是流体的动能，而第一项则是流体中特有的压力势能。下标1和2表示了一条流线上的两点，当流体从1点流到2点时，流体的某种性质保持不变，这种性质就是流体的机械能，所以伯努利定律如果用文字表达，就是：

压力势能 + 重力势能 + 动能 = 常数

注：大家学到的重力势能是mgh，这里的gh是单位质量流体的重力势能，动能也是一样道理。

流体力学和固体力学的一个重要不同是，流体微团在流动中前后左右总是受到其它微团的挤压作用，因此分析流体运动时必须考虑压差力的作用。

空气很轻，重力可以忽略，所以就只剩下压力势能和动能两项了。动能增加压力势能就减小，或者说，速度增加对应着压力减小，这就是一般科普中使用的伯努利定律。

不能使用伯努利定律的情况

我们知道机械能并不总是守恒的，比如有摩擦的情况就会使机械能转化成热能。既然伯努利定律就是机械能守恒，那么凡是导致机械能不守恒的因素都会使伯努利定律不成立。

摩擦和压缩是两种使气体的机械能转化成热能的方式，这时伯努利定律就不成立了。另外，流场中如果有叶轮之类的对气体做功，气体的机械能就会增加，这时伯努利定律也不成立了。还有，伯努利定律中的下标1和2代表了一条流线的两端。也就是说流体沿着一条流线机械能守恒，两条不同流线上的流体可以各有各的机械能，不需要相同，所以不同流线之间不能应用伯努利定律。

综合起来，伯努利定律必须在如下的几个条件下才能应用：

无摩擦、无压缩和膨胀、无轴功、沿一条流线。

来看看哪些情况下伯努利定律就不成立了：

用牛顿定律也可以解释伯努利定律

流体中压力与速度的变化关系也可以用牛顿第二定律来解释，把伯努利定律稍微变一下形：

上式中左边第一项是重力作用，第二项是压差力作用，右边是速度变化。根据牛顿第二定律，流体速度发生改变是因为受到了外力。如果外力是重力和压差力，就符合伯努利定律，如果还存在摩擦力或叶轮之类的物体推动流体，就不符合伯努利定律了。

鸡和蛋的问题

“流速增加”和“压力下降”就像鸡和蛋，到底是哪个先有的呢？

如果根据牛顿定律，力是速度变化的原因，所以应该是先有“压力下降”，后有“流速增加”，也就是说压差力使流体加速。

那压力下降又是如何产生的呢？呃，可以解释为流速增加产生的......

我经过多年的思考，给出的解释是伯努利定律并不能用因果关系来解释，为什么呢？

因为因果律跟时间相关，因在前，果在后。而伯努利定律只适用于定常流动，即不随时间变化的流动，或者说是与时间无关的流动。与时间无关的事件，就没有因果了。

具体到实际的流动，当你问因果的时候，实际上你是想知道流动是如何从最开始的样子变成现在的样子的，这涉及到非定常流动。那么不能用伯努利定律解释。比如飞机的发动机刚启动的时候，入口处的空气被抽走，压力降低了，然后引起了四面的流体向这里加速。一开始的压力降低是非定常造成的，并不需要先有流速增加，这时，我们可以说，“压力降低”是“流速增加”的原因。

总结

当再遇到用“流速增加引起压力下降”来解释流动的时候，我们就要擦亮眼睛了，一定要先明确所谈的流动是否能用伯努利定律来解释。

至于本文中提到的诸多流动的其它原理，以后的文章中将逐一加以分析，与大家探讨。

原作：王洪伟