纳维-斯托克斯方程

纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equation）描述粘性不可压缩流体动量守恒的运动方程，简称N-S方程。此方程是法国科学家C.-L.-M.-H.纳维于1821年和英国物理学家G.G.斯托克斯于1845年分别建立的，故名。它的矢量形式为：

在直角坐标中，它可写成

2式中，Δ是拉普拉斯算子；ρ是流体密度；p是压力；u，v，w是流体在t时刻，在点（x，y，z）处的速度分量。X，Y，Z是外力的分量；常数μ是动力粘性系数（动力粘度μ），N-S方程概括了粘性不可压缩流体流动的普遍规律，因而在流体力学中具有特殊意义。

粘性可压缩流体运动方程的普遍形式为：

其中为P为流体应力张量；l为单位张量；S为变形速率张量，其在直角坐标中的分量为：

μ^,为膨胀粘性系数，一般情况下μ^,=0。若游动流体是均质和不可压缩的，这时μ=常数。▽·v=0则方程（3）可简化成N-S方程（1）和（2）。如果再忽略流体粘性，则（1）就变成通常的欧拉方程形式：

即无粘性流体运动方程（见流体力学基本方程组）。

从理论上讲，有了包括N-S方程在内的基本方程组，再加上一定的初始条件和边界条件，就可以确定流体的流动。但是，由于N-S方程比欧拉方程多了一个二阶导数项μΔv，因此，

除在一些特定条件下，很难求出方程的精确解。可求得精确解的最简单情况是平行流动。这方面有代表性的流动是圆管内的哈根-泊肃叶流动（详见管流）和两平行平板间的库埃特流动（详见牛顿流体）。

在许多情况下，不用解出N-S方程，只要对N-S方程各项作量级分析，就可以确定解的特性，或获得方程的近似解。

对于雷诺数Re≤1的情况，方程左端的加速度项与粘性项相比可忽略，从而可求得斯托克斯流动的近似解。RA●密立根【罗伯特·安德鲁·密立根】根据这个解给出了一个有名的应用（密立根油滴实验），即空气中细小球状油滴的缓慢流动。

对于雷诺数Re≥1的情况，粘性项与加速度项相比可忽略，这时粘性效应仅局限于物体表面附近的边界层内，而在边界层之外，流体的行为实质上同无粘性流体一样，所以其流场可用欧拉方程求解。

把N-S方程沿流线积分可得到粘性流体的伯努利方程：

式中g为重力加速度；h’_f为单位质量流体克服阻力作功而引起的机械能损失。因此，流体沿流线流动时，机械能会转化成热能，使流体温度升高。

后人在此基础上又导出适用于可压缩流体的N-S方程。以应力表示的运动方程，需补充方程才能求解。N-S方程反映了粘性流体（又称真实流体）流动的基本力学规律，在流体力学中有十分重要的意义。它是一个非线性偏微分方程，求解非常困难和复杂，在求解思路或技术没有进一步发展和突破前只有在某些十分简单的特例流动问题上才能求得其精确解；但在部分情况下，可以简化方程而得到近似解。例如当雷诺数Re≥1时，绕流物体边界层外 ，粘性力远小于惯性力 ，方程中粘性项可以忽略，N-S方程简化为理想流动中的欧拉方程；而在边界层内，N-S方程又可简化为边界层方程，等等。在计算机问世和迅速发展以来，N-S方程的数值求解才有了较大的发展。

在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。第一个是流体是连续的。这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强P，速度v，密度ρ，温度Q，等等。该方程从质量，动量守恒，和能量守恒的基本原理导出。对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为ω，而其表面记为∂ω。该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。

1.L.朗特著，郭永怀、陆士嘉译：《流体力学概论》，科学出版社，北京，1981。（L.Plandtl，et al-，Fiihrer Durch die Strö-mungslehre，Fredr.Vieweg and Sohn，Braunschweig，1969.）

2.词条作者：张德良《中国大百科全书》74卷（第二版）物理学词条：流体力学：中国大百科全书出版社，2009-07：361-362页