以上是分析的全过程，所以大家骑车时要打足气，这样即有利于保护车胎又可以省力。

                         滚动摩擦          PB04203177 张龙

定义：一个物体在另一物体表面上滚动时，受到接触面的组作用，叫做滚动摩擦．

由于物体的滚动可以看成是平动和转动的合运动，因此对滚动的阻碍作用体现在对平动和转动的共同阻碍上．其中对转动的阻碍作用是阻力矩；对平动的阻碍作用是静摩擦力；非纯滚动时，对平动的阻碍是滑动摩擦力．

　　滚动摩擦产生的条件是物体与平面接触的部分必须发生形变．图是接触面产生形变的情况，平面形变的特点是在滚动物体的前方形成了凸起．正是因为形变的这种特点，使得滚动体受到的支持力的作用点前移（不在中心的正下方），并且方向不是竖直向上的．这样，支持力的水平分力（及静摩擦力或滑动摩擦力）阻碍平动；支持力的竖直分力对转轴的力矩阻碍转动，即滚动摩擦力矩．

从自行车问题谈滚动摩擦

一、引言 

人们在生活中都有这样的经验，骑自行车时，如果车胎打足了气，蹬起来就省力；如果车胎瘪了，蹬起来就费力。这是为什么呢？我对这一问题进行了分析。

二、建立物理模型 

在研究这个问题中，我做了如下的分析和假设：

1． 自行车轮，尤其是瘪了的车胎，压在地面时一定会发生弹性形变。地面受力，也会发生一定的弹性形变的。因此绝不能把车轮和地面当作是刚体。在这个问题中，车轮的弹性形变是主要的。

2． 将问题简化为平面中受力的情况，则车轮可以简化为平面中的一个圆。

3． 自行车后轮受到向前的摩擦力，前轮受到向后的摩擦力，对该问题的影响不大，忽略不考虑。

4． 车轮、地面都认为是质量分布均匀的物体。

5． 这里，只研究物体在水平地面上的情况，其它情况同样分析，结论相同。

三、分析物理情景

以车轮为研究对象，分析物体受到的力。

当轮在水平地面上，不受外力，静止不动时，如图1所示， 

物体与地面的形变都是左右对称的，物体受到竖直向下的重力G，地面给它的支持力。将支持力简化到一个点上，得到力N。物体处于平衡状态，所以N和G两个力大小相等，方向相反，在同一直线上。

此时，物体与地面的接触部分，为右侧的一段“弧线”。则物体所受的支持力，分布在右侧的这段“弧线”上，且总是与支持面相切（如图2）。        

将此力系简化到一个点A上（如图3所示），            

得到力N。沿竖直方向和水平方向分解N，得Nx、Ny。实际上，N与竖直方向的夹角极小，所以Nx极小；且圆心正下方的B点到Nx作用线的距离很小，故Nx对B点的力矩近似为零。Ny与G大小相等，方向相反，不在同一直线上，是一对力偶。支持力N对B点的力矩，就是Ny对B点的力矩。设Ny对B点的力臂为δ，即Ny与G的水平距离为δ，则力矩 Mr =δNy  

当车轮滚动时，力臂δ固定不变。车轮将要滚动时的δ称为滚阻系数。 力偶对物体不产生平动加速度，只产生转动加速度。力偶（Ny，G）的转动方向为逆时针方向，与物体运动方向相反，阻碍物体的运动，称为滚阻力偶。

当物体的形变量越大时，Ny偏移得越多，即力偶臂δ越大，阻力矩越大，则所需动力越大。在这一问题中，车胎打气不足时，越瘪形变量越大，人蹬车就越费力。 

在此引入四个效应：

效应一：微观滑移效应

a.雷诺(Reynolds)滑移：弹性常数不同的两个物体发生赫芝接触并自由滚动，虽然作用在每一个物体界面上的压力相同，但一般在两表面上引起切向位移不同，从而导致界面的滑移过程。

b.Carter-Poritsky-Foppl滑移：由于在滚动方向上的切向力的影响，与静态问题中粘附区位于中心处的情况不同，滚动时的滑移首先发生于接触面积的前沿。 

c.Heathcote滑移：接触区横向效应，球形滚动体在导槽内滚动接触时，尽管在横向方向上滚动体的外形可能与它们滚动的滚道密切一致，但由于表面上各点距回转轴线的距离明显不同，于是引起切向牵引力并发生微观滑移效应。

效应二：弹性滞后效应：

接触时的弹性变形要消耗能量，脱离接触时要释放出弹性变形能。但由于弹性滞后和松弛效应的缘故，释放的能量比吸收的能量要小，两者之差就是滚动摩擦损失。粘弹性材料的弹性滞后大，摩擦损失也比金属大。

效应三：塑性变形效应：

金属物体滚动接触时，若接触压力超过一定数值，将首先再表面层下的一定深度上产生材料的塑性变形。塑性变形消耗的能量构成了滚动摩擦损失。在反复循环的滚动摩擦接触时，由于硬化等因素，会产生相当复杂的塑性变形过程。

效应四：黏着效应：

与滑动粘着不同，在滚动接触条件下表面粘着力作用在滚动物体之间的界面法向，不发生粘着点剪切等现象，粘着力主要属于范德华力类型，象强金属键这类短程力只作用在微观滑移区内的微观触点上。如果形成了粘着结合，在滚动接触区的后缘粘着结合受拉伸而分离，而不像滑动接触时那样受剪切而分离。因此，滚动摩擦的粘着分量只占摩擦阻力的一小部分。 

几个理论：

1．泰博理论：泰博提出，当硬兹金属球在弹性表面上滚动时，所测得的滚动阻力是由材料的滞后顺失造成的。为了证明这一点，他用硬钢球于铅直载荷的作用下在一软钢平面上滚动，此时滚动阻力随滚动次数而变化，如图2所示，塑性的成槽作用在反复几百次滚动后就停止了，此时的滚动阻力是25克，沟槽宽度为0。45毫米，单滚动10000次行程后，由于滚道

宽度的增加，微滑作用变得更加重要，并且若微滑作用起显著作用时，滚动阻力应当上升。但四验表明，这时的滚动阻力仅为15克，而且经历40000次和20000次行程后分别下降到12克和9克。这一切都说明微滑不起主要作用，仅能用弹性滞后理论才能完满地解释滚动阻力。也就是说弹性接触时的滚动阻力归因于材料在机械负荷下的滞后耗损们。

2．弹塑性理论：对于金属材料的滚动阻力，在较小的载荷下可以用弹性滞后理论来分析。但是对一些金属，当载荷较大时，得出的滞后损失因子特别大（有时大于30%），这就很难解释。在1957年柯鲁克和韦尔什研究两个金属圆柱在足以引起材料屈服的接触压力下呈线接触一起滚动时发现了一种新奇的 变形类型。这是这样一种变形，每个圆柱的弹性表面层由于下表面层中出现朔性切变而整个地沿着向前滚动的方向相对于圆柱的弹性核心转动。这两个弹性部分之间被一层朔性变形材料所分隔。这就引起人们的注意，为什么圆柱间的纯属法向力能造成不对称的变形，以及为什么引起金属的向前移动而不是向后？对这个问题汉密尔顿作了一系列实验研究，由他的研究中可以看出向前的流动很可能是由于滚动接触中弹—朔性应力应变循环所引起的，而不是由特殊的材料性质所造成的。按照这一思想，卖尔温和约汉逊对这种现象进行了理论研究，提出了关于滚动阻力的弹塑性理论。为了便于研究，他们提出了三点简化假定：（1）把研究对象简化为一个刚性圆柱在一个半无限固体表面上滚动（2）固体是弹性-完全朔性，且是各向同性的（即没有冷工硬化）；（3）变形是平面的。在这些假定的基础上，他们得出了数学解，而且比较成功地解释了实验现象。以下我们仅能作很简单的介绍。按照麦尔温等人的分析，在滚动接触中固体材料受到一个中途颠倒方向的切变循环。在循环结束时留下一个残余应变，是表面产生一个向前的位移。在这个朔性切变循环里所消耗的能量是在简单单向切变里产生向前的位移所需要的能量的三至四倍。这个能量耗损就造成对滚动的阻力。

根据理论计算，滚动阻力可以用下式表示：

M是为了克服滚动阻力应施于单位长度圆柱上的力矩，G是切变模量，是最大赫兹接触压力，由下式给出

而k则是材料在简单切变情况下的屈服应力.在第一次滚动时的滚动阻力比经过多次滚动周期后达到稳定状态时的阻力要大.滚动阻力随载荷因子p0/k的变化关系见图4,这里滚动阻力是用无量纲参数MG/Rap02表示.当p0<3.1k时没有朔性流动出现,而”调整极限”出现在p0<4k处(所谓”调整极限”指对应于稳定状态的弹性极限).为了便于比较,图中绘出了根据弹性滞后理论当a值为2%时的滚动阻力.可以看出这时的阻力比塑性流动出现后的阻力要小得多。

3．刚性塑理论：在很高载荷下,当一个刚性圆柱在一个比较软的材料的平表面上滚动时,表面下的塑性变形区将广泛地扩展到在滚动圆柱的前方和后方的固体表面.这时塑性变形将不再受到局限,而较大的塑性形变可能出现.这时的可变形固体不再是理想的弹塑性材料,而应看成是理想的刚塑性材料了.它的特点是:在屈服前处于无变形刚体状态;一旦屈服,即进入塑性流动状态.

由此,柯林斯提出了刚塑性理论,它建立在下面两个基本假定的基础上:

(1)A.材料的变形完全是塑性的,弹性形变应被忽略.在这种情况下,残余应力的影响不复存在.

(2)B.用直线近似地代表圆柱和表面的接触弧.这意味着接触弧长要比圆柱半径小得多.

我们可以把滚动圆柱看成一个有轴的轮子,这个轴装在一个没有摩擦的轴承上,而沿圆柱单位长度的载荷W也垂直作用在这个轴承上.克服滚动阻力驱使圆轮前进有两种方法,一个是在轴承上施以一个单位长度的水平力F,另一个则是在轴上施以一个单位长度的转矩Q理论和实验表明,在不同的受力情况下将出现不同类型的塑性变形以及不同的滚动阻力.在仅受水平牵引力F的情况下,滚动阻力系数为      

(这个公式仅当W<<2(2+π)kR时成立!)  在仅受力矩Q驱动的情况下,滚动阻力系数则为

上面两个关系式都是在一定的近似条件下得出的近似公式.

滚动摩擦系数：

1.无量纲滚动摩擦系数：

无量纲滚动摩擦系数定义为：驱动力F作的功A与法向载荷FN和滚轮中心位移Δl之比

即f=A/FNΔl=FrΔφ/FNrΔφ=F/FN

滚动摩擦系数较小，一般钢—钢的f=0.0001数量级。

2.有量纲滚动摩擦系数

有量纲滚动摩擦系数定义为：阻力矩M与法向载荷FN之比，即： f=M/FN=FNe/FN=e 

滚动阻力：

为了说明问题,我们设想一块橡皮在应力作用下变形并经受加载与卸载的循环载荷,这时可

到一条滞后回线.能量损耗的多少取决与应变的大小,应力循环的周期以及温度高低.若温度

保持恒定且循环周期变化不大时,则能量损耗仅取决与应变大小.于是可以近似地认为由于

滞后所造成的能量损失是输入能量的一个固定部分。

为了推求滚动阻力,我们需要先求出在滚动过程中的弹性输入能.下面就一个刚性圆柱在平

面上滚动的情况来进行研究.

摩擦力怎么帮助汽车前进？

(以下的讨论，暂不考虑空气阻力对车子的阻力)

球或轮子滚动时，摩擦力显然降低了很多，为什么会这样呢？

如果轮子是以纯滚(注1)的方式等速度前进，那根本就不需要摩擦力。

如果轮子一开始不是纯滚，假设是滑大于滚。那会有一个动摩擦力作用，让滚的部分增加，滑的部分减少，直到纯滚为止，当轮子达到纯滚之后，动摩擦就消失。轮子就以纯滚的方式等速度继续前进，不需要摩擦力。

也就是轮子在水平的路面上保持等角速度纯滚时，是没有摩擦力的。这个情形就像是牛顿第一运动定律里的『动者恒动』一样。

那什么是『滚动摩擦(rolling friction)』？

滚动摩擦是轮子变形或者地面变形所产生的。如果轮子和地面都非常坚硬，绝不变形，那就没有滚动摩擦。

像火车车轮和铁轨，都是不易变形的材料制成的，因此二者之间的滚动摩擦之间就很小。

而胎压不足的汽车轮胎（或脚踏车轮），和地面之间的滚动摩擦就比充满气的轮胎来的大，因此车子行进时较费力也容易造成轮胎的磨损。

如果轮子是以纯滚的方式等加速度前进，（轮子被驱动或者从斜面上滚下来，也就是受到外力），那么，会有一个和前进方向相反的静摩擦力，这个静摩擦力产生一个力矩让轮子能有一个角加速度，以维持纯滚。

汽车一般在正常行驶时，大都维持纯滚的状态。如果是等速度前进，几乎是没有摩擦力，

如果是加速度前进，就会有静摩擦力产生。

紧急煞车时，煞车皮会使滚的部分减少，让轮子在地面上滑动，这时作用的是『动摩擦力』。

在刚启动时，轮子还未达到纯滚，这时就需要动摩擦的帮忙直到达到纯滚为止。

汽车的前轮和后轮的作用是不太一样的。

大多数汽车是前轮驱动，后轮只是跟着动而已 (我们看到拖吊车通常是拖起汽车的前轮)。

汽车在往前开的时候，前轮和后轮所受的摩擦力是不一样的。

这是一题高中的试题：

前轮驱动的轿车在水平地面加速前进时，下列叙述何者正确？ (A)前轮所受的摩擦力对轿车作正功，后轮所受的摩擦力对轿车作负功 (B)前轮所受的摩擦力对轿车作负功，后轮所受的摩擦力对轿车作正功 (C)前、后轮所受的摩擦力对轿车皆作正功 (D)前、后轮所受的摩擦力对轿车皆作负功 (E)前、后轮所受的摩擦力对轿车皆为零。 答案：(在下面，反白就看到答案囉) A 解析：前轮是「驱动轮」所以地面施给前轮之力的方向向前和车轮位移同向，故前轮所受的摩擦力对轿车作正功；后轮是靠方向向后的摩擦力所带动，因此后轮所受的摩擦力对轿车作负功。

前轮(驱动轮)所受的摩擦力 F 是向前(帮助车子前进)，后轮所受的力 f则向后。

后轮所受的力 f是来捣乱的吗？让车子后退？阻扰车子前进？

这二个摩擦力，大小相同吗？

这二个摩擦力，性质相同吗？(谁是静摩擦？谁是动摩擦？都是静摩擦？都是动摩擦？....)

那个轮容易磨损？why？

其实，空气阻力是不能忽略的。

下面是92年学测自然科的试题

（题目：52~56题）

【有没有道理？】

汽车的轮胎为什么要弄得凹凹凸凸的？

有人说，鞋底或汽车轮胎的纹路，是为了增加摩擦力。

但是摩擦力不是和接触面积的大小无关吗？

所以，平面的轮胎和凹凹凸凸的胎面，和地面间的摩擦系数应该是相同的吧？

是不是有另外的功能？

没错，轮胎凹凸不平主要是排水用，如果胎面是平滑的，那会因下雨或地上湿，而使得地面和轮胎之间多了一层水，这样摩擦系数会变小，使车子容易打滑或不易煞车。

汽车的轮胎在雪里地为什么要加鍊条？

利用鍊条的凹凸不平增加摩擦系数？

别忘了，摩擦力不是和接触面积的大小无关吗？

那是因为金属和雪地间的摩擦系数大于轮胎和雪地间的系数？

主要的原因是利用金属的导热性佳。车轮和雪地摩擦时，摩擦产生的热会让雪地溶解出一层薄层水，这层水会降低接触面之间的摩擦系数。金属的导热能力强，可以把摩擦产生的热带走，故会阻止薄层水的形成。这是加金属鍊条的主要作用。

注1

纯滚（rolling without slipping）是指轮子滚一圈，刚好前进2πR，这种滚动方式，轮子和地面的接触点在每一瞬间都是静止的。轮子质心前进的速度 v会等于Rω，（ω是轮子的角速度，R是轮子的半径）。

所谓的滑大于滚，就是 v>Rω，也就是连滚带滑的情况，轮子滚一圈前进的距离大于2πR

滚动的球或轮子和摩擦力的关系，可以从下面保龄球这题得到深入的了解：

各版本高中物理相关的描述

摩擦力不全然是阻碍物体运动的进行。在有些情况下，摩擦力是用于推动物体运动所需的力，例如我们走路时，鞋底对地面向后施力，因摩擦而产生向前的作用力，因此得以行走（图2-38）。如果改在冰面上步行时，则因摩擦力过小而难于走动。汽车也是利用与地面之间的摩擦力而得以行进（图2-39）。当汽车引擎运转时，带动轮子转动，轮子和地面的接触点对地面向后施力，因此轮子获得一个向前的摩擦力，推动汽车前进。（南一高中基础物理课本）

摩擦力在生活中的应用有利有弊。人藉助于摩擦力才能行走，也比较不易滑倒，车子才能启动和煞车。鞋底和轮胎上的纹路，都可以增加摩擦力；如果纹路不够深时，就应该更换。（康轩国中二上自然与生活科技）

摩擦力对生活之影响有正面也有负面。人走路时若无摩擦力协助，寸步难行；拿筷子挟卤蛋，筷子之表面必须稍微粗糙不宜太光滑，才能靠摩擦力帮忙把卤蛋送入口中；磨刀石与刀子间适当的摩擦力才能使刀子磨得又快又亮。（三民高中基础物理）

如果你曾因天雨路滑而摔倒，你应该能马上体认摩擦力的重要性，因为我们能行走正式靠脚与地面间的摩擦力，所以鞋底会有凹凸的纹路，也就是为了增加摩擦力；此外，车辆也是靠轮胎与地面间的摩擦力才能前进，否则车子发动时只见车轮转动，而不见车前进。更重要的是，若世上没有了摩擦力，则行进中的车辆将因无法煞车而肇事。（翰林高中基础物理）

滚动摩擦

图2–14物体滚动时与表面的接触情形，粗细虚线分别是代表原来的物体及表面，实线为表面受物体的挤压而形变后的样子。

　　物体沿接触表面滚动时也有摩擦力作用，它和滑动摩擦力不相同，称为滚动摩擦力，也就是说动摩擦力有滑动摩擦和滚动摩擦(rolling friction)两种，两者互相比较滚动摩擦比较小。由于理想滚动体之表面为球面或圆柱面，如图2–14，当滚动物体与表面接触时，就好像是齿轮与鍊条之作用一样，滚动体之表面的小凸块嵌入接触面之小凹块，如图中实线所示，此造成了推挤的效果。其中表面对物体的推挤作用使滚动体向前移动，但其力之方向恰与转动方向相反，所以转的本身受阻而减慢下来，这就是滚动摩擦力的来源之一。另一个原因为，球面或圆柱面与表面之接触面积比较小，其压力强度比较大，因而使得接触表面产生凹陷，同时滚动体本身之接触表面也有形变发生，其形状犹如充气不足的橡皮轮胎，因此物体之运动变成不断滑往斜坡上滑行，这种凹陷及形变使运动当然受阻。由上述道理可知，滚动有受到小凸块之帮助，而滑动则受到了阻碍，这就是为什么滚动摩擦力比较小的原因。此外，我们也可知道，滚动体和滚动表面若选用坚硬不易变形者，其滚动摩擦力就会比较小些。所以火车之车轮与轨道均用坚硬之钢品，其摩擦力比橡皮胎与柏油路面要小得太多了。（这里所指的摩擦力是『滚动摩擦』）

（此段话来自三民高中基础物理）

 自由滚动的轮子和被驱动的轮子所受的摩擦力不太一样。

如图(Benson Fig 6.33；friction01.gif)，是一个被鍊条驱动的脚踏车的后车轮，当我们踩脚踏车时，后车轮对地面产生一个向后的推力FRW，其反作用力FWR，即可将脚踏车推向前。若轮子与地面之间无相对运动（这个情况叫『纯滚』），则路面施给轮子的力为静摩擦力 (fs)。若踩得更用力，车轮和地面之间有滑动（这个情况是『连滚带滑』），则路面施给轮子的力就是动摩擦力囉！

…………………..

14.骑脚踏车前进时，前后轮之摩擦力方向为何？Ans.脚踏车后轮是由鍊条带动，其方向为顺时钟，故摩擦力向前进方向以阻止之，而前轮被后轮推向前滑行起动，其摩擦力向车后推动轮子做顺时钟转动。（图十三）（三民高中基础物理习题14）

轮胎氮气充填 爱车人新玩意



原用于航太工程中的轮胎氮气充填技术，现已成为爱车人士填充轮胎的新玩意。
记者黄裕元／摄影


【记者黄裕元／专题报导】

多年来，汽车轮胎一直是以空气充填维持胎压，但随着科技进步与相关设备不断研发、精进，也让以往仅用于航太工程中使用的轮胎氮气充填成为龟毛车主填充轮胎的新玩意。

轮胎填充氮维持胎压稳定

精明的车主或许会问，轮胎用空气充填也未见问题，干嘛没事自找麻烦非要用氮气不可？其实，空气为多种气体的混合，也容易受温度影响而膨胀、收缩，空气处于密闭的轮胎空间中当然也极易受热、受寒而出现热胀、冷缩！像是长时间行驶后充填空气的轮胎胎压绝对会因热提高，即使冷车时还处于正常胎压，在温度提高后轮胎也会因胎压提高而使操驾路感偏硬。

而胎压变动大对操驾车辆绝对不是好事，胎压过高行驶时轮胎吸震能力减弱，致使驾车舒适性降低，而过高胎压会让胎面摩擦力降低，影响高速行驶安定性。而过低胎压虽轮胎减震功能提高了，但也增加了胎面摩擦力，除加速轮胎磨耗，也会使车辆行驶油耗相对增加。

不随温度变化增加耐用度

专家指出，其实最棒的轮胎特性应该越稳定越好！越不受环境影响的稳定胎压才能维持最佳行驶表现。像是航空器材动辄从地面到高空数万英呎高的飞航状态，为应付剧烈温度变化容易发生的热胀冷缩问题，早已使用稳定的惰性气体（氮气）充填轮胎，便应付高低空不同气压与剧烈温度变化，轮胎也不会因过度热胀冷缩而降低轮胎耐用度。

统一皇帽汽车百货营业部课长林俊毓指出，氮气属于一种非常稳定的惰性气体，具备不易受热胀冷缩影响的特性，膨胀系数值约1磅（psi），具高稳定特性。

氮气最早用于太空梭、飞机等飞行器材的轮胎充填，随后F1赛车也相继加入充填氮气的行列，主要都是氮气稳定的状态不会轻易受冷热影响，因此可维持最佳胎压与最佳工作状态，近来也因充氮设备越来越普遍，而成为爱车玩家充填轮胎的最爱。

完整泄胎气氮气不白充

林俊毓表示，一般规模较大的轮胎行、汽车修配厂，都会提供氮气充胎服务，一般首次四轮填充氮气要价600～800元，往后补充各轮胎压一般要价也在200元上下。统一皇帽推出氮气卡终身会员，强调400元入会就能终身免费为爱车充填氮气。

林俊毓说，坊间有些提供氮气充填的业者没有确实作好泄气的动作，也没有用抽真空设备辅助泄气，有些可能只是让轮胎自然泄气，致使胎内可能仍残留50～60％空气，虽对轮胎没有影响，但如此一来会使氮气充胎混入过多空气，致使冲氮效果变得不明显，顶多只是白忙一场、浪费钱。添加过纯氮的轮胎为确保日后维持稳定特性，林俊毓建议，每次补充胎压一定要再用氮气填充。

路感平稳舒适降低轮胎弹跳

当确实作好氮气充胎的动作后，除了轮胎特性更稳定外，其实加值的效果还真不少。林俊毓就说，他自己不仅轿车以氮气填充轮胎，连通勤机车也使用氮气充胎！充填氮气后不但轮胎反应Q度增加，改善轮胎弹跳的状况，当然行驶中车身就更平稳、顺畅，相对在轮胎行驶噪音也降低不少。由于氮气高稳定特性，在台湾早晚温差大的环境下，也可减少轮胎因为热胀冷缩变形而影响轮胎寿命。

【2003/12/19 联合报】

【参考资料】

Benson,University Physics,Ch6